Утка и лиса – 2
Представлено решение и результаты численного моделирования задачи про утку и лису.
Стоп-кадр, иллюстрирующий действенность метода.
Тут мы видим, что Утка уже на берегу, а Лиса до неё ещё не добежала.
Ответ «надо плыть так, чтобы находиться на прямой, соединяющей лису и центр пруда» не поможет утке выплыть, так как она не может управлять своим положением. Она может управлять только своей скоростью, точнее только направлением скорости. Ей нужно сказать, КУДА плыть, в каком направлении. Тогда по этим указаниям она сможет выплыть.
Ответ такой. Скорость утки должна быть направлена под углом 3п/2–arccos 4r/R к вектору, проведённому из центра пруда к утке в сторону, противоположную направлению скорости лисы, где r — длина этого вестора. Тогда она будет двигаться по спирали, стремящейся к окружности радиуса R/4. После того, как r станет больше (с небольшим запасом), чем R(1–п/4), утке следует изменить скорость и двигаться вдоль этого вектора. Тогда она приплывёт на берег раньше, чем до этой точки добежит лиса.
При моделировании был не до конца решён вопрос о стратегии поведения лисы, так как у неё возникает неоднозначность, в какую сторону бежать, если утка находится ровно за центом. Но даже если она будет бегать туда–сюда, просто будет изменяться направление раскрытия спирали траектории утки. Поэтому, для упрощения понимания визуализации было сделано предположение, что у нас не буриданов осёл, а смышлёная лиса. Все это, разумеется при предположении, что масса утки нулевая (иначе она не сможет мгновенно изменить скорость), а утка и лиса точечные (у утки нет хвоста, за который её можно цапнуть, когда её центр масс уже убежал).
Впрочем, и от этих ограничений можно отказаться и рассмотреть реальную жирную утку, расчитать гидродинамические течения вокруг её лапок и возникающие при этом силы, учесть потери энергии на трение и на образование волн на поверхности воды. Можно учесть, что озеро не совсем круглое, а на берегу есть кусты, которые лисе надо оббегать. Но по мере приближения к реальным физическим условиям мы поймём, что утке лучше всего всё–таки просто улететь.
